존재 이유

정방행렬이 아니거나 역행렬이 존재하지 않는 경우에 일반화된 역행렬

⇒ Full Rank(선형 독립인 열의 개수 = 열의 개수)가 아니거나 정방행렬이 아닐 때, 역행렬이 존재하지 않는다.

즉, $Ax = b$의 최소 제곱 해를 구하고 싶을 때, 단, $A$행렬은 정방행렬이 아니거나 역행렬이 존재하지 않다고 가정할 때, $Ax= b$를 근사할 수 있는 $x$를 구하기 위해 $A$의 유사 역행렬$A^+$을 구하는 것이 목적

정방 행렬이 아닌 비정방행렬

  1. 세로로 긴 비정방행렬 $R^{m \times n}$ $(m > n)$

    ⇒이 방정식에는 해가 없을 수도 있다.

    $ex)\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ⇒ $a+3b$, $4a$ , $a+2b$

  2. 가로로 긴 비정방행렬 $R^{m \times n}$ $(m < n)$

    ⇒ 해가 여러 개일 수도 있다.

    $ex) \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3&4 \\ 3 & 2 & 3 &7 \end{bmatrix}$⇒ $a+2b+3c+4d$, $3a+2b+3c+7d$

특잇값 분해로 무어-펜로즈 유사역행렬 구하기

특잇값 분해

$A=UDV$

  1. $U$는 $AA^T$의 고유벡터를 열로 구성한 행렬
  2. $D$는 $A^TA$또는 $AA^T$의 고유값
  3. $V$는 $A^TA$의 고유벡터를 열로 구성한 행렬

무어펜로즈 유사역행렬

$A^T=(UDV^T)^T$

  1. $A^+= VD^TU^T$

  2. $A ^+$ = $VD^+U^+$

$D$는 $Diag$(대각행렬)이기에, 역수를 취한 값들이 역행렬이 된다.