$Ax = \lambda x$

행렬의 고유값 문제는 주어진 정방행렬 $A$에 대해 벡터 방정식 $Ax = \lambda x$을 만족하는 벡터 $x$와 스칼라 $\lambda$를 찾는 것이다.

• 영벡터 $x= 0$은 모든 $\lambda$에 대해 위 식을 항상 만족하므로 큰 의미가 없으므로, $x\neq 0$ 인 해만 받아드린다. ($x=0$ 은 Trivial Solution: 자명한 해)

이때, $Ax = \lambda x$를 만족하는 $\lambda$를 행렬$A$의 고유값이라고 부른다.

이에 대응하는 영벡터가 아닌 $x$를 행렬 $A$의 고유벡터라 부른다.

행렬의 고유값 문제. 고유값과 고유벡터 구하기

$Ax = \lambda x$

• $\begin{bmatrix}6 &3 \\4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}5 \\1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 33 \\ 27 \end{bmatrix}$
• $\begin{bmatrix}6 &3 \\4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 \\4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 30 \\ 40 \end{bmatrix}$

다음, 주어진 행렬을 곱하는 것이 벡터에 어떤 영향을 주는지 관심이 있다. (선형 변환)

• 첫 번째의 경우, 그 결과는 원래 벡터와는 방향과 크기가 다른 완전히 새로운 벡터가 되었다.
  • 보통 발생하는 현상이고 그다지 큰 관심이 없다.
• 두 번째 경우는 매우 흥미로운데, 벡터를 선형 변환 행렬에 입력하였더니 크기만 달라지고 방향은 똑같은 벡터를 얻게 된 것이다.
  • $10 \begin{bmatrix} 3\\ 4\end{bmatrix}$
  • 이때 우리가 10이라는 이 값을 **고유값 (Eigen Value)**라고 부른다.
  • 이때, $[3,4]$는 행렬 $A$의 고유 벡터라고 부른다.
  • 이러한 고유값들의 집합을 스펙트럼이라고 부른다.

⇒ 기하학적으로 해석하자면, 행렬 $A$를 곱하는 효과가 스칼라 $\lambda$를 곱하는 것과 같은 벡터 $x$를 찾았다는 것이다.

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

예제)

$A=\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

$Ax =\lambda x$에서 $\lambda$를 먼저 구한다.

$Ax = \begin{bmatrix} -5 &2 \\ 2& -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2\end{bmatrix}$이고 성분별로 풀어쓰면,

• $-5x_1 +2x_2 = \lambda x_1$
• $2x_1 -2x_x = \lambda x_2$