Vector Space라는 것은

두 벡터의 합 그리고 scalar 와의 곱이 잘 정의 된 공간이다.

교환법칙이 성립되고 결합 법칙, 덧셈 항등원 (벡터에 어떤 값을 더해도 자기 자신인 상황), 덧셈 역원(벡터에 어떤 값을 더해 0이 되게 하는 벡터)

곱셈 항등원, 분배 법칙이 정의되는 공간을 벡터 공간이라 부른다.

{0}은 벡터공간이다. 위 조건을 만족하게 되니까

• SubSpaces(부분공간)

  A Subset U of V is called a subspace of V if U is also a vector space.

  U도 또한 벡터 공간이어야 한다.

• Linear Combination(선형 결합)

  어떤 벡터들이 주어졌을 때, 이 벡터들의 스칼라 배(곱)와 합으로 새로운 벡터를 만드는 것을 선형 결합

  만약 $v1,v2,\dots, v_n$이 벡터들이고, $c1,c2, \dots,c_n$이 스칼라(숫자)라면,

  다음과 같이 표현되는 벡터 $v$를 $v1,v2,\dots, v_n$의 선형 결합이다.

  $v=c_1v_1+c_2v_2+⋯+c_nv_n$

  즉, 여러 개의 벡터를 스칼라 값을 곱해서 더한 것이 선형 결합이다.

• Span(생성)

  $x_1,\cdots,x_n$은 벡터, $c_1,\cdots,c_n$은 실수라고 할 때,

  $Span(x_1,x_2,\cdots,x_n)$={$c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n | c_1,c_2,\cdots,c_n$은 모든 실수}

  주어진 벡터들을 가지고 스칼라 배를 하여 만들 수 있는 모든 선형 결합에 대한 집합을 생성이라고 부른다.

• Linear Independence(선형 독립)

  • 벡터들이 서로 중복되지 않고 새로운 정보를 제공할 때, 즉 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 없을 때, 이 벡터들은 **선형 독립(Linear Independence)**이라고 해.

  벡터 $v1,v2,\cdots,v_n$이 있을 때,

  만약 유일한 해가 $c1=c2=\dots = c_n = 0$ 인 경우, 해당 벡터들은 모두 선형 독립이라고 얘기할 수 있다.

  • 선형 독립인 벡터 $(1,0),(0,1)$
  • 선형 종속인 벡터 $(1,2),(2,4)$
    • (1,2) 벡터가 (2,4)를 표현할 수 있어서 종속이다. 즉 $2 (1,2)=(2,4)$이기에 종속이다.

• Basis(기저)

  • A basis of V is a list of Vectors in V that is linearly Independent and spans V

  $V$의 기저는 벡터의 리스트인데 $V$를 생성하고 각각 선형 독립인 벡터의 리스트이다.

  ($v_1,v_2,\cdots,v_n$)끼리 선형 결합하여 결국 $V$를 만들어 낼 수 있는 벡터들의 집합 그리고 각각의 벡터 끼리는 선형 독립이어야한다.

  예시로 $(1,0,0,\dots,0),(0,1,\dots,0),\dots,(0,0,\dots,1)$의 벡터들이 존재할 때, 이 들은 $F^n$의 기저이다.(F는 Field이고 복소수면 복소수 필드 실수 공간이면 실수 필드라고 부름, F가 실수공간이라고 가정한다면)

  위의 벡터들의 집합은 서로 선형 독립이면서 $F^n$공간을 생성할 수 있으므로 $F^n$의 기저라고 부른다.

• Rank(랭크)

  • The number of linearly independent columns of a matrix $A \in R^{mXn}$
    • A 행렬에서 선형 독립적인 열의 개수
  • The number of linearly independent rows of a matrix $A \in R^{mXn}$
    • A 행렬에서 선형 독립적인 행의 개수
  • $Rank(A)$

  

  • 랭크의 성질 (Properties of Rank)
    • $rank(A) =rank(A^T)$
    • For all $A \in R^{nXn}$, it holds that A is regular(invertible) if and only if rank(A) = n

      • A가 정사각 행렬이고 Rank(A)가 n일때, 즉(선형 독립인 열이 n개 일때 = Full Rank) 역행렬이 존재한다.

        정사각 행렬이고 Full rank면 역행렬이 존재하고 역행렬이 존재하면 정사각행렬이고 Full Rank 이다.