해당 장에서는 정방행렬에 대해서만 고찰한다.

$n \times n$ 행렬 $A= [a_{jk}]$의 역행렬(inverse matrix)은 $A^{-1}$로 표기하고

• $AA^{-1} = A^{-1}A = I$

을 만족하는 $n \times n$ 행렬로 정의한다. 여기서는 $I$는 $n \times n$ 단위행렬이다.

만약 **$A$가 역행렬을 가지면, 이때 $A$를 정칙행렬(Nonsingular Matrix)**이라 부르고,

**$A$가 역행렬을 갖지 않으면 $A$를 특이행렬(Singular Matrix)**이라 한다.

만약 $A$가 역행렬을 가지면 그 역행렬은 유일하다.

증명

$B$와 $C$를 $A$의 역행렬이라고 하면, $AB=I, CA=I$이다.

• $B = IB=(CA)B = C(AB) =CI =C$
• $B=C$

역행렬은 유일성을 갖는다.

$Ax=b$

⇒ $A^{-1}A x= A^{-1}b$

⇒ $Ix = A^{-1}b$

⇒ $x = A^{-1}b$

역행렬의 존재

$A$가 $n \times n$ 행렬일 때, 역행렬 $A^{-1}$가 존재할 필요충분조건은 $rank(A) =n$이다.

⇒ 행렬 $A$가 모든 벡터에 대해서 선형독립이어야한다.

• $rank(A) = n$이면, $A$는 정칙행렬(역행렬이 존재하는)