여기서는 고유 벡터의 일반적인 성질에 대해 다루어 본다.

경우에 따라 $n \times n$행렬 $A$의 고유 벡터들이 $R^n$의 기저를 이루기도 한다.

이때의 고유벡터들을 “고유기저(Eigenbasis: 고유벡터들로 구성된 기저란 뜻)”

대각 행렬은 고유 벡터끼리 직교한다.

대각행렬이 아닌 행렬은 항상 직교하지 않는다.

변환 $y = Ax$를 고려할 때, 매우 유용하게 쓰일 수 있다.

즉, $R^n$에 속한 임의의 벡터 $x$(고유 벡터는 되지 않음)는 고유 벡터 $x_1,...,x_n$들의 1차 결합으로 표현할 수 있다.

• $x = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$

예시) $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 &2 \end{bmatrix}$

• $\lambda:1$, $\vec{v}: \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
• $\lambda:3 , \vec{v}: \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
• $\vec{v}$ 고유 벡터들이 이루는 $R^n$의 기저 ($n=2$)
• $c_1 \begin{bmatrix} 1 \\-1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} = x \;(x\in R^n)$

서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 항상 선형독립이다.

행렬의 유사성과 대각화

고유기저는 행렬 $A$를 이 행렬의 고유값을 대각원소로 가지는 대각행렬로 변환할 때, 유용하게 사용된다.

$D = \begin{bmatrix} \sigma_1 & \cdots &0 \\ \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & 0& \sigma_n \end{bmatrix}$고유값을 대각원소로 가지는 대각행렬

유사행렬

만약 어떤 $n \times n$ 정칙행렬(역행렬이 존재하는 정사각행렬) $P$가 존재해$\hat{A} = P^{-1}AP$ 관계가 성립할 때, $n \times n$ 행렬 $\hat{A}$는 $n\times n$ 행렬 $A$와 유사하다고 한다. 여기서, $A$로 부터 행렬 $\hat{A}$를 얻는 변환을 유사변환(Similarity transformation)이라고 한다.

유사 행렬의 고유값과 고유벡터

$\hat{A}$가 $A$와 유사하면, $\hat{A}$는 $A$와 같은 고유값을 갖는다. 게다가, 만약 $x$가 $A$의 고유벡터이면, $y=P^{-1}x$는 같은 고유값에 대응되는 $\hat{A}$의 고유벡터가 된다.