복습

대칭행렬 $A = A^T$

행렬을 대칭했을 때, 자기 자신이 나오는 행렬

반대칭행렬 $-A = A^T$

행렬을 대칭했을 때, 음의 행렬이 나오는 행렬

반대칭행렬의 주대각선 원소는 항상 0이다.

직교행렬 $A^T=A^{-1}$

열벡터 서로가 내적이 0인 수직인 관계

정방행렬 $A$의 특징 1개

• 임의의 실수 정방행렬$A$는 언제나 대칭행렬 $R$과 반대칭행렬 $S$의 합으로 나타낼 수 있다.
• $R= \frac{1}{2}(A + A^T)$, $S= \frac{1}{2}(A-A^T)$
• $A= R+S$

대칭행렬과 반대칭행렬의 고유값

대칭행렬의 고유값은 실수이다. 반대칭행렬의 고유값은 순허수 또는 0이다.

내적의 불변

직교 변환 행렬 $A$와 임의의 벡터 $a,b$에 대해 직교 변환 행렬을 거친 $u,v$는 여전히 내적의 정보는 바뀌지 않는다.

증명

$let, \;u = Aa$, $v =Ab$

• $u \cdot v= a \cdot b$ 를 만족하면 된다.