• $n$개의 실수를 성분으로 가진 모든 벡터들의 집합을 고려하면, 이는 곧 매우 중요한 $n$차 실벡터공간이 된다. ⇒ 이를 “실벡터”라 부른다.
• $R^2$의 경우, 2개의 성분으로 이루어진 모든 순서쌍의 집합이며, 이 순서쌍은 평면 상의 벡터에 해당한다.
  • $\begin{bmatrix}1\\3 \end{bmatrix}$
• $R^3$의 경우는 3개 성분으로 이루어진 순서쌍의 집합이고 이는, 3차 공간 상의 벡터가 된다.
  • $\begin{bmatrix}3 \\ 6\\9 \end{bmatrix}$

내적 공간

$R^n$내의 두 열벡터 $a,b$에 대하여 곱 $a^Tb$를 정의할 수 있다. 그 결과는 단일 성분을 갖는 $1\times 1$행렬, 다시 말해 하나의 스칼라(실수)가 된다. 이것을 벡터 $a$와 $b$의 내적(Dot Product)이라고한다.

• $a^Tb = (a,b) = a\cdot b = \begin{bmatrix}a_1,...,a_n \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

1. 실내적공간 (Real Inner Product Space)

   1. 임의의 스칼라 $q_1,q_2$와 $V$의 벡터 $a,b,c$에 대해
      1. 선형성: $(q_1a+q_2b,c) = q_1(a,b) + q_2(b,c)$
   2. $V$의 임의의 벡터 $a$와 $b$에 대해
      1. 대칭성: $(a,b) =(b,a)$
   3. $V$의 임의의 벡터 $a$에 대하여
      1. 정부호성: $(a,a) >= 0,$ $(a,a) = 0$ 일 조건은, $a=0$

2. 내적이 0인 두 벡터는 직교(Orthogonal)이라고 한다.

3. $V$에 속한 벡터 $a$의 길이 또는 **노름(Norm)**이라고 부른다.

   1. $||a|| = \sqrt{(a,a)}$

4. 길이가 1인 (=노름이 1인) 벡터를 단위벡터(Unit Vecto라 부른다.

코시-슈바르츠 부등식(Cauchy-Schwarz Inequality)

코시-슈바르츠 부등식은 벡터 공간에서 내적을 정의할 때, 두 벡터 사이의 각도와 크기 간의 관계를 설명하기 위해 등장했다. 이 부등식은 내적이 단순한 연산이 아니라, 벡터 길이(노름,Norm)와 코사인(Cosine Function)의 개념을 포함하고 있다.

정의: $|(a,b)| \leqq ||a||\cdot||b||$

• $(a,b)$는 두 벡터의 내적, $|(a,b)|$ 는 두 벡터의 내적의 절대값
• $||a|| =\sqrt{(a,a)}$는 벡터 $a$의 노름
• $||b|| = \sqrt{(b,b)}$는 벡터 $b$의 노름

해석: 두 벡터의 내적 값은 각 벡터의 크기 곱보다 크거나 같을 수 없다.

기하학적 의미

• $(a,b) = ||a||\cdot||b||\cdot cos\theta$