행렬의 계수(Rank) 개념을 이용하면, 선형연립방정식의 해의 존재성, 유일성, 그리고 그 해집합의 일반적인 구조에 관한 완벽한 정보를 얻을 수 있다.

$n$개의 미지수를 갖는 선형연립방정식은 이에 대응하는 계수행렬과 첨가행렬의 계수(rank)가 서로 같고 그 값이 $n$이면 유일해를 갖게 된다.

• $n=rank(A)$ 이때, $n$은 미지수의 개수
• 계수들의 값이 서로 같지만 $n$보다 작으면 무한히 많은 해를 갖는다.
• 두 행렬에 대한 계수가 서로 다르면, 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.

선형연립방정식에 대한 기본정리

존재성

$n$개의 미지수 $x_1,...,x_n$에 관한 $m$개의 선형연립방정식이 모순이 없기 위한(consistent), 다시 말해 해를 갖기 위한 필요충분조건으로

• 계수행렬 $A$와 첨가행렬$\tilde{A}$ 둘이 같은 계수를 갖는 것이다.

유일성

선형연립방정식이 유일한 해를 갖기 위한 필요충분조건은 $A$와 $\tilde{A}$가 같은 계수 $r= n$을 갖는 것이다.

• 미지수 개수 = 1차 선형 독립인 벡터의 개수

무수히 많은 해

만일 $A$와 $\tilde{A}$가 같은 계수 $r$을 갖고, $r<n$이면, 무수히 많은 해가 존재한다.

$n-r$개의 미지수로 나머지 $r$개의 미지수를 표현함으로써 이 모든 해를 얻을 수 있다.

제차연립방정식

아래의 연립방정식들의 우변이 모두 0일때, 제차연립방정식이라고한다.

하나라도 0이 아니면, 비제차방정식이라고 부른다.

• $a_{11}x_1+ \cdots +a_{1n}x_n = 0$
• $a_{21}x_1+ \cdots +a_{2n}x_n = 0$