우리의 목표는 선형연립방정식의 해의 존재성과 유일성을 완전하게 살펴보는 것이다.
이때, **1차 독립(Linear Independence)**과 **행렬의 계수(Rank)**는 위를 파악하기 위해 필요한 개념이며, 이들은 Gauss 소거법과도 밀접하게 연관되어있다.
같은 수의 성분을 가진 $m$개의 벡터 $a_{(1)},...,a_{(m)}$에 대하여 이들 벡터의 1차 결합(Linear Combination)이란 임의의 스칼라 $c_1,...,c_m$에 대하여
여기서 더 나아가, $c_1a_{(1)} + c_2a_{(2)} + \cdots + c_ma_{(m)} = 0$에 대한 방정식은
$c_j$의 모든 값이 0일 때, 우리는 각 벡터는 1차 독립이라고 얘기할 수 있다.
반대로 $c_j$가 0이 아닌 다른 조합에 의해서 $c_1a_{(1)} + c_2a_{(2)} + \cdots + c_ma_{(m)} = 0$를 만족할 수 있다면, 이를 **선형 종속(Linear dependence)**이라고 부른다.
하지만, 각각의 벡터들이 서로 독립인지 종속인지 판단하는 일은 쉽지 않다.
행렬 $A$에서 1차 독립인 행벡터의 최대 수를 $A$의 계수(Rank)라고 하며, rank $A$로 나타낸다.
행렬 $A_2$에 기본 행연산을 유한히 수행하여 행렬 $A_1$을 얻을 수 있다면, 우리는 $A_1$과 $A_2$는 행동치(Row-equivalent),즉 해집합이 변하지 않는 두 관계에 놓여있다고 말한다.
또한, 행렬에 있어서 1차 독립인 행벡터의 최대 수는 행렬에 대한 기본 행연산으로 변하지 않는다.
이 사실은 rank $A$가 기본 행연산에 대해 불변(Invariant)이라는 것이라고 표현한다.
행동치인 행렬들은 같은 계수를 갖는다.
행렬 $A$를 $Gauss$소거법을 적용해 $A_2$를 얻는다면, $rankA$와 $rankA_2$는 갖다.
행렬의 0이 아닌 행의 개수를 세면 되기 때문에 쉽게 rank $A$를 알 수 있다.
각각 n개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은, 이 벡터들을 행벡터로 취해 구성된 행열의 계수가 p이면, 1차 독립이고, 만약 그 계수가 p보다 작으면 1차 종속이다.