수학적 대상 중에는 그것을 구성요소들로 분해해서, 표현 방식과는 무관하게 보편적인 어떤 성질을 찾아내면 더 잘 이해할 수 있는 것이 많다.
예컨대, 정수를 소인수들로 분해하는 경우를 들 수 있다.
12 = 2 * 2 * 3과 같이 분해하여, 12가 가지는 유용한 성질을, 더 확장시켜 수가 가지는 유용한 성질을 파악하고자 하였다.
정수의 진정한 본성에 관한 무언가를 알아 낼 수 있는 것과 비슷하게, 행렬 또한 마찬가지로,
행렬을 다양한 방식으로 분해해 보면, 성분들의 배열 형태로 표현된 행렬에서는 미처 발견하지 못한 여러 기능적인 속성이 들어난다.
행렬을 일단 고유벡터와 고윳값들로 분해한다.
정방행렬 $A$의 고유벡터는 하나의 0이 아닌 벡터 $v$인데, $A$와 곱해도 $v$의 축척(Scale)만 변한다는 조건을 만족한다.
⇒ 행렬 $A$와 벡터 $v$와 곱을 해도 $v$의 방향은 바뀌지 않고 크기만 변하는 벡터
$v$가 $A$행렬의 고유벡터라면, $sv$ 벡터들도 모두 고유벡터이다.$sv$의 고유값은 $v$의 고유값과 같다.
그렇기 때문에, 단위 고유벡터만 고려한다.
행렬 $A$에 일차독립인 $n$개의 고유벡터 ${[v_1, v_2, ...v_n]}$이 있고, 이들에 대응하는 고유값들이 $[\lambda_1,\lambda_2,..\lambda_n]$가 있다고 가정하자.
고유벡터들을 열마다 하나씩 연결해서 행렬 $\mathbb{V}$를 만들 수 있다. $\mathbb{V} = [\lambda_1,...,\lambda_n] ^T$를 만들 수 있다.
$A의$ 고유값 분해는